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Ici, vous pourrez vous plonger dans l'univers des maths (j'y ai inséré quelques ovnis). Soit vous n'y comprendrez rien, soit vous résoudrez (presque) tout rapidement. Là encore, j'ai choisi des énoncés réalistes, des histoires (possiblement) vécues. La seconde partie, c'est pour les initiés, en principe...
P1: Info internationale: l'hélicoptère d'un milliardaire russe a sombré au fond d'un lac. Un journaliste rapporte pourtant que parti de Saint-Pétersbourg, l'hélico effectuait simplement son rôdage. Pour ce faire, le pilote fit 500 km vers le nord, 500 km vers l'est, 500 km vers le sud puis 500 km vers l'ouest. Le pilote ne put jamais atterrir, faute d'essence. Pas seulement... Pourquoi? Et au fait, dans quel lac? (Question subsidiaire: qu'est-ce qui est le plus grand: l'hélicoptère ou son ombre pure?) P2: Avez-vous déjà regardé un angle (disons de 30°) sous un autre angle (à travers une loupe qui grossit, disons, 4 fois)? Non... Essayez de tête de déterminer la mesure de l'angle à travers la loupe. P3: Prenons la position des aiguilles d'une montre à midi pile. Si dans cette position la grande et la petite aiguilless échangent leurs places, l'heure restera exacte. Quels sont les autres exemples? (Question subsidiaire: quels sont tous les autres exemples?) P4: Si 8 x 8 = 54, à quoi est égal 84? P5: Avec seulement 4 fois le chiffre 4, pouvez-vous trouver les nombres suivants : 14, 33, 51, 81 et 104 ? Quel est l’intrus ? P6: J'ai trouvé dans le grenier de ma grand-mère 2 boîtes à café en fer-blanc de même forme. La première pèse 2 kg et sa hauteur est de 12 cm. La seconde fait 9,5 cm de haut et pèse 1 kg. Quel poids de café ma grand-mère pouvait-elle mettre dans chaque boîte? P7: Deux marchands possédaient en commun un troupeau de boeufs. Ils l'ont vendu et ont obtenu pour chaque boeuf autant d'euros qu'il y avait de bêtes. Avec cet argent, ils ont acheté un troupeau de moutons à 10 € le mouton et un agneau. Ils ont partagé le troupeau en 2 parties égales: un des marchands a reçu un mouton de plus et l'autre a pris l'agneau et reçu de son ex-associé un supplément correspondant. Quelle était la valeur entière de ce supplément? P8: Je lance verticalement (vers le haut) un ballon de foot à la vitesse de 25m/s. Dans combien de secondes aura-t-il atteint une hauteur de 20 m au-dessus du sol? P9: Ah ça y est! Je viens de retrouver ce disque en fer-blanc. Et comme il manque un entonnoir à ma grand-mère, ça tombe bien! Fabriquons-le ensemble, en découpant un secteur de ce disque et en pliant le reste en forme de cône. Saurez-vous trouver, en degrés, la valeur de l'arc du secteur découpé pour que le cône soit de capacité maximum? P10: (On frôle la partie "initiés" avec ce problème et on ne quitte pas vraiment l'entraînement physique...) Je suis en train de lire sur une table plate. A quelle hauteur au-dessus de la table doit se trouver la flamme d'une bougie pour qu'elle éclaire au maximum ma lecture? P11: Ma grand-mère veut que je refasse la toiture de sa maison avec des ardoises carrées. Pfff, pas facile, son toit est en forme de cône tronqué! Je sais juste que du bas du toit au sommet il y a 4 mètres et que du sommet du toit au sommet (virtuel) du cône le formant il y a 2 mètres. Sachant qu'une ardoise fait 10 cm de côté, combien d'ardoises devra commander ma grand-mère? P12: Après les travaux de couverture, me voici confronté à un problème de déménageur. Ma grand-mère ne veut plus de son piano. Mais voilà le sortir n'est pas une mince affaire... On ne doit à aucun moment faire sortir de meubles et on ne peut que faire glisser ceux-ci dans un espace libre de la pièce (donc pas question de glisser un meuble à moitié hors de la pièce ni de les soulever). Il est aussi interdit de faire pivoter les meubles (c'est d'ailleurs impossible, vu l'espace restreint). Aidez-moi! Comment procéder? (Drôle de disposition de salon, me direz-vous...)
On complique? P13: La largeur constante de la piste d'un circuit automobile est environ égale à 10 mètres. Quelle est la différence de longueur entre le bord gauche et le bord droit de la piste ? P14: Pour faire saisir le sens du mot "partage", un instituteur fait s'asseoir des enfants en cercle. Chacun dispose d'un nombre pair de bonbons. Simultanément, chaque enfant doit donner la moitié de ses bonbons à son voisin de droite. Si après ce partage l'un des enfants a un nombre impair de bonbons, l'instit lui en donne un de plus. Partage, oui. Egalité, aussi. Les enfants finiront tous par avoir le même nombre de bonbons. La question est simple: prouvez-le. P15: Dans le triangle ABC, l'angle en A vaut deux fois l'angle en B et l'angle en C est obtus. De plus, les longueurs a, b, c des côtés sont des entiers. Déterminer le périmètre minimal de ABC. P16: On raconte qu'un jour Christophe Colomb arriva sur une île où vivaient 34 caméléons. Le chef du village lui raconta alors l'incroyable histoire des caméléons de l'île des Caméléons qui s'était passée l'année dernière. Au départ 7 étaient jaunes, 10 étaient rouges et 17 étaient verts. Lorsque deux caméléons de couleurs différentes se rencontraient, ils prenaient tous les deux la troisième couleur (par exemple, un caméléon rouge et un caméléon vert devenaient jaunes). Lorsque se rencontraient deux caméléons d'une même couleur il ne se passait rien. Et au bout d'un an tous les caméléons sur l'île étaient devenus de la même couleur. Laquelle? Christophe Colomb savait la réponse, lui... (Il faut non seulement déterminer la couleur, mais aussi prouver que c'est la seule possible.) P17: Un astronaute laisse tomber en même temps une plume et une bille de plomb sur la lune. Sachant que l'attraction lunaire est six fois moins forte que l'attraction terrestre, dites-moi combien de temps la plume mettra en plus de la bille pour toucher le sol. Quelle est l'aire du triangle jaune, si a = 5 et b = 2? *ABCD est un trapèze avec AB parallèle à CD, AB = 92, BC = 50, CD = 19, DA = 70. P est un point de AB tel que ce point est le centre du cercle touchant les côtés AD et BC . Combien vaut AP ? *ABC est un triangle isocèle avec la hauteur AM = 11 cm, AD = 10 et l’angle BDC vaut 3 fois l’angle BAC. Quel est le périmètre du triangle ABC ? *APM est un triangle rectangle en A. Son périmètre est égal à 152 cm. Le cercle de centre O, qui appartient au côté AP, a un rayon de 19 cm et passe par A et T, un point de PM. Combien vaut OP ? *Deux cercles ont des rayons de 1 cm et de √2 cm. Les centres de ces 2 cercles sont distants de 2 cm. X est un point commun aux deux cercles. Y se trouve sur le grand cercle et M sur le petit tel que M soit le milieu de XY. Trouver XY. Pour les fondus de géométrie, voici une compilation de problèmes, nécessitant des illustrations: (pas encore créé le lien, n'hésitez pas à me demander par mail) *Soient C et D des points d’un cercle de centre O de diamètre AB, situés tels que l’angle AQB = 2 fois l’angle COD. Les tangentes en C et en D se croisent en P. Le cercle a un rayon de 1 cm. A quelle distance le point P se trouve-t-il de ce cercle ?
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